Videotutoriales

18 ago 2017

ROLLE 01

En este vídeo de FdeT aprenderás a utilizar el Teorema de Rolle para demostrar que una determinada ecuación sólo tiene una solución en un determinado intervalo.

En el enunciado del problema se nos pide que demostremos que una determinada ecuación sólo tiene una única raíz real y que la acotemos en un intervalo de longitud 1. Para ello en primer lugar tendremos que aplicar el Teorema de Bolzano para localizar un intervalo donde la función tenga una raíz.

Recordemos que el Teorema de Bolzano nos dice que si f es una función continua en un intervalo [a,b] con a, b reales a<b, y donde f toma distinto signo en los extremos, es decir f(a)<0, f(b)>0 o al revés, esto es, f(a)>0, f(b)<0 (Esta condición se suele notar f(a)f(b)<0), entonces f tiene al menos una raíz en dicho intervalo.

Buscaremos a, b de forma que se cumpla el Teorema de Bolzano en nuestra ecuación.

A continuación supondremos que existe una solución distinta a la que nos proporciona el Teorema de Bolzano y aplicaremos el Teorema de Rolle en el intervalo definido por las dos soluciones de la ecuación.

Recordemos que el Teorema de Rolle nos dice que si f es una función definida sobre un intervalo [a,b] con a, b reales, a<b, de forma que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y además f toma el mismo valor en los extremos, esto es, f(a)=f(b) entonces existe un punto c donde se anula la derivada, es decir, existe un número c del intervalo (a,b) donde f´(c)=0.

Aplicaremos el Teorema de Rolle a la función del enunciado y comprobaremos que no es posible que se anule la derivada de la función en ningún punto de los números reales, por lo que llegaremos a una contradicción con las hipótesis del Teorema de Rolle.

La contradicción nos llevará a la negación de la existencia de una nueva solución, por lo que concluiremos que la solución obtenida es única.

Con esto finalizaremos este vídeo sobre el Teorema de Rolle.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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