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25 abr 2015

ALGEBRA LINEAL, ESPACIO VECTORIAL, PROBLEMA 02

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En este vídeo tutorial de FdeT aprenderás a determinar si un conjunto de vectores de un espacio vectorial forman una base. Aprenderás también a calcular una base de un espacio vectorial a partir de una base de un subespacio vectorial suyo.

Comenzaremos el vídeo estudiando un subconjunto de un espacio vectorial y comprobando que es un subespacio vectorial. Para ello recordaremos en primer lugar qué condiciones debe cumplir un conjunto para ser un subespacio vectorial de un espacio vectorial determinado.

A continuación comprobaremos que un determinado conjunto de vectores del subespacio vectorial forman un sistema de generadores del subespacio vectorial y obtendremos una base del espacio vectorial que contiene a dicho sistema de generadores del subespacio..

Recordemos que un sistema de generadores de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de éstos elementos.

Además un sistema de generadores de un espacio vectorial forma una base del espacio vectorial, si es linealmente independiente, es decir, ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos de problemas resueltos relacionados con los espacios vectoriales que te serán de utilidad.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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2 Responses

  1. Antonio Maldonado

    Buenas Paco, ¿qué tal?. Tengo unas dudas acerca de este ejercicio, y te agradecería si por favor me las resolvieses. En el b) tú has obtenido la base B={(0,1,2),(0,1,-1)}, ¿pero podría eliminarse cualquier vector de F para obtener una base? ¿Formarían una base también los vectores no nulos que aparecen al reducir la matriz formada por los vectores de F? En el c), ¿por qué se da por sentado, y no hay que comprobar, que el nuevo conjunto formado al añadir el vector es sistema generador de R3? Muchas gracias, y un saludo.

    1. Buenas tardes Antonio.
      En el apartado B en primer lugar demostramos que F es un sistema de generadores de S. A continuación tenemos que obtener de ahí una base. Formamos la matriz que forman los vectores de F, y ésta es una matriz de orden 3. Como el rango de esta matriz es 2, tenemos que eliminar un vector, puedes eliminar el vector que quieras siempre que éstos sean linealmente independientes, es decir que si consideras la matriz que forman éstos dos vectores ésta matriz tenga rango 2.
      En cuannto a los vectores no nulos que aparecen al reducir la matriz formada por los vectores de F, basta con considerar la matriz que forman y estudiar su rango, si tienes dos vectores que forman una matriz con rango 2, tendrás que forman base.
      En cuanto al apartado c) la razón de que sean sistema de generadores es por la dimensión. Si demuestras que son linealmente independientes, como tienes tres vectores y la dimensión del espacio R^3 es 3, no queda más remedio que sean base, y por lo tanto son sistema de generadores.
      De la misma forma ocurriría al revés, es decir, si tienes un sistema de generadores con el mismo número de elementos que la dimensión del espacio vectorial, entonces formarán base y por tanto son linealmente independientes.
      Espero haberte solucionado las dudas que me has planteado.
      Un saludo.

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