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28 oct 2015

MÉTODO DE LAGUERRE

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En este vídeo de FdeT aprenderás a utilizar el método de Laguerre para acotar las raíces reales de un polinomio.

Comenzaremos el vídeo analizando de forma teórica el método de Laguerre para acotar las raíces de un polinomio. El método de Laguerre nos permite encontrar de forma sencilla una cota superior de las raíces del polinomio. En concreto el método nos dice que si tenemos un polinomio p(x), y encontramos un valor real M>0, de forma que al dividir el polinomio p(x) entre (x-M), el cociente tenga todos sus coeficientes positivos y el resto sea positivo, entonces M es una cota superior de las raíces reales del polinomio.

Este Teorema presenta un problema y es que cuando el polinomio p(x) tiene el coeficiente líder (es decir, el correspondiente al término de mayor grado del polinomio) negativo, entonces para cualquier valor de M>0, el cociente tendrá su término de mayor grado negativo, y por lo tanto el método de Laguerre tal y como lo hemos comentado no es aplicable.

Para solventar este problema cuando tengamos un polinomio p(x), con el coeficiente líder negativo, consideraremos -p(x), que es un polinomio que tendrá el coeficiente líder positivo, y tiene las mismas raíces que el polinomio original. De ésta forma podemos aplicar el método de Laguerre al polinomio p(-x), y encontrar así una cota superior de las raíces del polinomio.

Para encontrar una cota inferior de las raíces del polinomio, consideraremos p(-x), que es un polinomio obtenido a partir del polinomio original y que cumple que las raíces de p(-x), son las opuestas de las raíces del polinomio original, por tanto encontrando una cota  superior M con el método de Laguerre de las raíces de p(-x), tendremos que -M será una cota inferior de las raíces del polinomio original.

Una vez explicado el método de forma teórica estudiaremos un caso práctico donde veremos como encontrar cotas superiores e inferiores para las raíces de un polinomio con coeficientes reales.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos sobre raíces de polinomios y cálculo de las mismas.

Espero que te sirva para preparar tus exámenes de matemáticas de los primeros cursos universitarios.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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