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31 oct 2015

GEOMETRÍA, PROBLEMA 10

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En este vídeo de FdeT aprenderás a hallar el punto simétrico respecto de un plano. Este problema típico de la geometría en tres dimensiones será resuelto paso a paso para que no te quedes con ninguna duda.

El enunciado de éste problema de geometría nos da la ecuación de un plano y de un punto en el espacio, y nos piden en primer lugar que hallemos el punto simétrico del punto dado con respecto al plano.

Recordemos en primer lugar que el punto simétrico P´ de un punto P con respecto de un plano, es aquel que cumple que está a la misma distancia del plano que el punto P y además el vector PP´ es perpendicular al plano dado.

Utilizaremos esta definición para hallar el punto simétrico, de forma que comenzaremos a resolver este problema de geometría calculando la recta perpendicular al plano que pasa por el punto dado P.

Para hallar la recta perpendicular al plano, bastará con encontrar un vector que sea normal al plano. Para ello bastará con recordar que si tenemos la ecuación cartesiana del plano de la forma

ax+by+cz=d

Entonces el vector v=(a,b,c) es un vector normal al plano.

Con este vector y el punto P inicial  hallaremos la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P. Recordemos que por la definición que hemos dado de puntos simétrico, esta recta debe de contener al punto P´.

A continuación calcularemos la intersección de la recta hallada con el plano. De ésta forma hallaremos la proyección del punto P sobre el plano inicial (que evidentemente coincide con la proyección de P´ sobre el plano). Este punto M será el punto medio del segmento PP´, por tanto para hallar P´ bastará con utilizar la definición del punto medio.

De ésta forma habremos resuelto este problema de geometría donde teníamos que calcular el punto simétrico de un punto respecto de una recta.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos sobre geometría tanto geometría plana como geometría en el espacio.

Espero que te sirva para preparar tus exámenes de geometría de Bachillerato, Selectividad, así como en los primeros cursos universitarios.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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