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31 ene 2016

FUNCIONES, PROBLEMA 02

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En este vídeo de FdeT aprenderás a estudiar la continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos. Aprenderás también las condiciones que debe cumplir una función para que cumpla el Teorema de Rolle.

Comenzaremos el vídeo analizando la función definida a trozos que se nos presenta, para a continuación estudiar la continuidad de dicha función. Recordemos que en las funciones definidas a trozos, cuando las distintas funciones que aparecen son elementales, al restringir la función original a cada uno de los intervalos donde la función no cambia de criterio tendremos que la función es continua. Habrá que estudiar más detenidamente los puntos donde estas funciones definidas a trozos cambian de criterio. Para estudiar su continuidad bastará con comprobar que en estos puntos se cumple que el valor de la función coincide con los límites laterales de la función en este punto.

Una vez estudiada la continuidad de la función estudiaremos su derivabilidad, para ello al igual que ocurría con la continuidad, tendremos que estudiar por un lado las restricciones de la función definida a trozos en cada uno de los intervalos donde no cambia de criterio, y estudiar por separado los puntos donde ésta cambia de criterio.

Recordemos que para las funciones sean derivables en un punto es necesario que exista

lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

En dicho punto, es decir, estudiaremos los límites laterales en dicho punto de esta expresión y comprobaremos que coinciden.

Finalmente el problema nos pide que estudiemos si la función cumple las condiciones del Teorema de Rolle en un determinado intervalo, por lo que en primer lugar recordaremos el Teorema de Rolle y posteriormente veremos si la función del enunciado cumple sus hipótesis.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos sobre estudio de funciones, así como límites de funciones de una y varias variables. Espero que te sea de utilidad para tus exámenes de bachillerato y selectividad, así como de los primeros cursos universitarios.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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