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29 ago 2016

EXTREMOS RELATIVOS EN VARIAS VARIABLES 02

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En este vídeo de FdeT aprenderás a calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

Comenzaremos el vídeo analizando la función que debemos estudiar. Tenemos que hallar los extremos relativos de una función en dos variables.

En primer lugar calcularemos los puntos críticos de la función, es decir, los puntos susceptibles de ser extremos relativos. Para ello calcularemos las derivadas parciales de la función respecto cada una de las variables.

Los puntos críticos serán la solución del sistema de ecuaciones obtenido de igualar a cero las derivadas parciales de la función respecto de cada una de las variables que intervienen.

Una vez planteado el sistema de ecuaciones, lo resolveremos para hallar los puntos críticos de la función.

Los puntos críticos, como hemos mencionado anteriormente, son los puntos susceptibles de ser extremos relativos, pero para estudiar si se trata de un extremo relativo o no debemos estudiar la matriz Hessiana.

La matriz Hessiana es la matriz cuyas entradas son las derivadas parciales de segundo orden de la función a estudiar.

Estudiaremos la matriz Hessiana en los puntos críticos. De forma que:

  • Si la matriz Hessiana es definida positiva, entonces el punto estudiado es un mínimo relativo.
  • Si la matriz Hessiana es definida negativa, entonces el punto estudiado es un máximo relativo.
  • Si la matriz Hessiana es indefinida, entonces el punto estudiado es un punto de silla.

En el resto de casos el sistema no nos aporta información.

Calcularemos por lo tanto la matriz Hessiana de la función en los puntos críticos obtenidos y estudiaremos si esta matriz es definida positiva, negativa o indefinida, con lo que obtendremos si estos puntos son máximo, mínimo o punto de silla.

Con esto finalizaremos este vídeo de extremos relativos en varias variables.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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