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31 dic 2015

ESPACIOS VECTORIALES, PROBLEMA 04

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En este vídeo de FdeT aprenderás a resolver un problema típico de espacios vectoriales. Aprenderás a estudiar si un determinado espacio vectorial es suma directa de dos subespacios  dados.

En este problema tendremos que demostrar que un espacio es suma directa de dos espacios vectoriales dados. Para ello en primer lugar debemos recordar las condiciones que se deben de cumplir para que dos espacios vectoriales sean suma directa.

Recordaremos que estos espacios vectoriales deben cumplir dos condiciones:

1.- La intersección de los dos espacios vectoriales debe ser el vector nulo. Es decir el único vector que está en la intersección de ambos espacios vectoriales es el vector nulo.

2.- El subespacio vectorial suma de ambos espacios vectoriales debe ser igual al espacio vectorial de partida.

Comenzaremos por tanto demostrando que los dos espacios vectoriales dados cumplen estas condiciones. La primera de ellas se obtiene de forma evidente a partir de la definición de intersección de espacios vectoriales.

Para la segunda de las propiedades bastará con recordar que un sistema de generadores de la suma de dos espacios vectoriales viene dada por el conjunto formado al unir las bases de ambos espacios vectoriales. Una vez obtenido un sistema de generadores de la suma de los dos espacios vectoriales, bastará con obtener un sistema linealmente independiente de ellos.

Al obtener este sistema linealmente independiente obtendremos una base del espacio vectorial que forman la suma de los dos espacios vectoriales. A continuación razonaremos por rangos. Si el rango de este espacio vectorial coincide con la del espacio vectorial de partida, entonces ambos espacios vectoriales serán iguales, ya que uno es un subespacio del otro.

Con esto concluiremos este vídeo sobre espacios vectoriales.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos sobre sistemas de ecuaciones y su clasificación. Además podrás encontrar vídeos de problemas de sistemas de ecuaciones.

Espero que te sirva para preparar tus exámenes de espacios vectoriales de los primeros cursos universitarios.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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