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21 jun 2016

DIAGONALIZACIÓN 04

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En este vídeo de FdeT, aprenderás a resolver un problema de diagonalización. Aprenderás a calcular los valores y los vectores propios de la matriz, así como a calcular la matriz de paso P mediante la cual se concluye el problema de diagonalización de la matriz dada.

Comenzaremos el problema de diagonalización analizando la matriz a la que debemos hallar los valores propios. Comenzaremos calculando el polinomio característico y las raíces del mismo.

Continuaremos la diagonalización de la matriz hallando los subespacios propios asociados a cada valor propio obtenido. Recordemos que el subespacio asociado al valor propio \lambda viene dado por ker(A-\lambda I), es decir, viene determinado por el núcleo de la matriz A a la que le restamos la identidad multiplicada por dicho valor propio.

Para que la matriz sea diagonalizable, es necesario que la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica de cada valor propio coincida, es decir que la multiplicidad con la que aparece el valor propio como raíz del polinomio característico coincida con la dimensión del subespacio propio. En caso en que estos valores sean distintos, la matriz no será diagonalizable.

Calcularemos los subespaios asociados a cada valor propio y determinaremos la dimensión de cada uno para determinar si la matriz es diagonalizable. Para hallar los subespacios propios será necesario el estudio de los sistemas de ecuaciones resultantes de estudiar el núcleo de la matriz resultante de restar a la matriz dada el producto del valor propio con la identidad.

Finalmente obtendremos la matriz de paso que nos permite obtener la matriz diagonal como producto de la matriz original con esta matriz de paso y su inversa.

Con esto finalizaremos este problema de diagonalización.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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