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17 jul 2015

DESIGUALDAD, PROBLEMA RESUELTO 01

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En este vídeo tutorial de FdeT aprenderás a demostrar una desigualdad entre funciones utilizando el cálculo diferencial.

El problema que se plantea en este vídeo tutorial es un problema en el que tenemos que demostrar que se cumple una desigualdad de la forma f(x)<g(x).

Para ello transformaremos esta desigualdad en otra de la forma h(x)<0, de forma que tendremos que comprobar que una determinada función que hemos construido a partir de las que nos proporciona el enunciado es negativa.

Esto lo probamos haciendo uso del cálculo de derivadas. Para ello hallaremos la derivada de la nueva función construida y la igualaremos a cero para obtener los puntos críticos de ésta función.

Una vez obtenidos los puntos críticos los estudiaremos para comprobar si son máximos o mínimos relativos. En nuestro caso sólo habrá un punto crítico, que además será un máximo relativo.

Para decidir si se trata de un máximo o de un mínimo relativo, podemos estudiarlo de dos formas: O bien estudiando el signo de la segunda derivada en dicho punto, o bien estudiando los cambios de signo de la primera derivada.

En nuestro caso estudiaremos los cambios de signo en la primera derivada. Esto nos arrojará como resultado que el punto crítico obtenido es un máximo relativo. Además estudiamos la imagen de este punto mediante la función que hemos construido y nos dará como valor 0.

Por lo tanto concluiremos que si el máximo relativo es 0, la función debe ser menor o igual que cero. como además tenemos que el punto crítico se obtiene en el extremo del intevalo concluimos que la función es menor estricta que cero, y por lo tanto se cumple la desigualdad que teníamos.

En consecuencia hemos probado que se cumple la desigualdad entre las funciones que teníamos en el enunciado.

Como siempre, espero que sea de tu interés.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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