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17 ene 2016

ÁLGEBRA LINEAL, PROBLEMA 07

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En este vídeo de FdeT aprenderás a resolver un problema de álgebra lineal.

En este problema de álgebra lineal trabajaremos con una función definida sobre el espacio vectorial de las matrices de orden 2, en el espacio vectorial tridimiensional.

Tendremos que calcular la matriz asociada a esta aplicación lineal en unas bases determinadas.

Comenzaremos probando que esta aplicación es una aplicación lineal. Esta es una demostración muy habitual en los problemas de álgebra lineal. Para ello recordaremos que una aplicación es lineal si cumple:

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y), \forall x,y \in V, \forall \alpha, \beta\in K

Utilizaremos esta definición para probar que nuestra aplicación es lineal, y a continuación calcularemos la matriz de dicha aplicación en las bases que nos proporciona este problema de álgebra lineal.

Para hallar la matriz asociada a la aplicación lineal, expresaremos las imágenes de los vectores de la base del dominio como combinación lineal de los elementos de la base del codominio, y de ésta forma los coeficientes obtenidos serán los coeficientes de la matriz asociada a la aplicación lineal.

Finalmente en el problema de álgebra lineal nos piden que hallemos la imagen mediante la aplicación lineal de un vector. Calcularemos esta imagen de dos formas.

En primer lugar hallaremos la expresión del vector ya que sólo conocemos las coordenadas de este vector en la base indicada, y una vez hallado el vector utilizaremos la definición que nos proporciona el ejercicio para hallar su imagen.

La segunda forma consiste en utilizar la matriz asociada a la aplicación hallada en el apartado anterior, ya que la imagen por la aplicación de este vector, será el producto de dicha matriz por la expresión de este vector en la base de partida.

Con esto concluiremos este vídeo donde hemos estudiado un problema típico de álgebra lineal.

En http://fdet.es encontrarás más vídeos sobre álgebra lineal, y en sobre espacios vectoriales, espero que te sea de utilidad para tus exámenes de los primeros cursos universitarios.

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Autor: Francisco Morante. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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